Apa itu Aljabar Linear? Berikut Penjelasan Lengkapnya

Barangkali ada yang bertanya-tanya, apa itu aljabar linear? Aljabar linear adalah cabang matematika untuk mempelajari ruang vektor serta transformasi linear antar ruang vektor tersebut. Aljabar linear secara lebih spesifik mempelajari berbagai sifat-sifat struktural dari vektor, ruang vektor, dan transformasi linear. Sifat struktural ini melibatkan konsep seperti vektor, matriks, determinan, sistem persamaan linear, dan ruang vektor.

Aplikasi aljabar linear di berbagai bidang ditemukan dalam fisika, ilmu komputer, teknik, ekonomi, dan statistika. Aljabar linear juga digunakan dalam komputasi. Seiring dengan perkembangan komputasi, aljabar linear menjadi semakin penting dalam berbagai aplikasi, terutama dalam bidang ilmu komputer dan rekayasa.

Sejarah Aljabar Linear

Sejarah aljabar linear diperkirakan ada pada abad ke-19 melalui perkembangan konsep ruang vektor, matriks, dan transformasi linear. Berbagai konsep awal aljabar linear muncul dalam pengembangan aljabar umum, terutama dengan penelitian pada sistem persamaan linear dan teorema matriks. Tetapi perkembangannya sebagai disiplin matematika baru pada abad ke-19.

Pada awal abad ke-20 aljabar linear semakin berkembang sebagai disiplin matematika yang berdiri sendiri. Beberapa teorema dasar tentang ruang vektor, transformasi linear, dan struktur aljabar linear lainnya mulai dirumuskan dan dibuktikan. Hingga kini aljabar linear tetap menjadi area penelitian yang aktif dan penting dalam matematika, dan dapat diaplikasikan ke berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi.

Ruang Vektor

Ruang vektor merupakan konsep matematika yang berperan penting dalam aljabar linier. Secara sederhana, ruang vektor merupakan himpunan objek matematika yang disebut vektor dan dapat ditambahkan bersama dan dikalikan dengan skalar (bilangan). Operasi penjumlahan dan perkalian skalar dalam ruang vektor harus memenuhi beberapa sifat yang populer sebagai aksioma ruang vektor.

Berbagai bidang matematika dan fisika menggunakan ruang vektor termasuk dalam pemodelan sistem fisika, optimasi, pemrosesan sinyal, dan sebagainya. Contoh ruang vektor yang umum adalah ruang vektor Euclidean, yang digunakan untuk merepresentasikan ruang tiga dimensi dalam geometri.

Ruang vektor harus memenuhi beberapa sifat yaitu penambahan vektor harus bersifat komutatif (a + b = b + a) dan asosiatif ((a + b) + c = a + (b + c)).

Selain itu, harus ada elemen identitas untuk penambahan yaitu vektor nol sehingga untuk setiap vektor v, v + 0 = v.

Setiap vektor harus memiliki vektor negatif sehingga untuk setiap vektor v, terdapat vektor -v sedemikian sehingga v + (-v) = 0.

Matrix

Matriks merupakan representasi struktural data yang berbentuk array dua dimensi. Dalam hal ini data diatur dalam baris dan kolom. Setiap elemen matriks dapat berupa bilangan riil, bilangan kompleks, atau bahkan simbol-simbol matematika. Matriks berperan penting dalam berbagai bidang matematika dan ilmu terapan, terutama dalam aljabar linier.

Matriks biasanya melakukan berbagai operasi umum yaitu invers matriks, perkalian matriks, penjumlahan matriks dan transposisi matriks. Setiap operasi punya aturan serta properti khusus yang mengatur cara matriks supaya dapat dimanipulasi. Artinya, penjumlahan dua matriks dapat dilakukan apabila dimensinya sama. Syarat lain adalah penjumlahan tersebut dilakukan dengan menjumlahkan setiap elemen sesuai.

Materi yang Dipelajari dalam Aljabar Linear

Makin penasaran dengan apa itu aljabar linear? Ketahui terlebih dulu jika aljabar linear adalah cakupan dari materi sebagai berikut:

1. Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear adalah studi yang terkait tentang sistem persamaan yang melibatkan variabel linier dan metode penyelesaiannya. Metode yang pada umumnya digunakan untuk sistem persamaan linear termasuk metode eliminasi Gauss, matriks balikan, dan metode vektor-ruang.

Contohnya adalah x + y = 5 dan 2x – y = 1 adalah bentuk persamaan linear dengan dua variabel. Apabila digabungkan, maka keduanya akan membentuk sistem persamaan linear. Persamaan linier dengan dua variabel mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga Namun, sistem dua persamaan linier dengan dua variabel dapat memiliki solusi tunggal yang memenuhi kedua solusi tersebut.

2. Vektor

Vektor merupakan konsep dasar aljabar linear. Cakupannya adalah himpunan objek yang dapat dijumlahkan serta dikalikan dengan skalar, memenuhi aksioma-aksioma ruang vektor. Secara umum, vektor merupakan objek matematika yang dapat representasikan besaran dengan magnitude dan arah.

Tak jarang vektor digunakan dalam menyatakan perpindahan, kecepatan, gaya, dan berbagai konsep fisika lainnya. Representasi vektor secara visual adalah anak panah. Panjangnya menunjukkan magnitude sedangkan arah anak panah menunjukkan arah vektor.

Berbagai cara dapat digunakan dalam melambangkan vektor.  Representasi vektor sebagai pasangan x dan y adalah dalam ruang dua dimensi. X merupakan komponen vektor dalam sumbu x, sedangkan y merupakan komponen vektor dalam sumbu y. representasi vektor dalam ruang tiga dimensi adalah x, y, z.

Operasi vektor pada umumnya termasuk penjumlahan vektor, perkalian skalar dengan vektor, produk scalar vektor, dan produk cross vektor. Semuanya adalah operasi dasar yang membentuk dasar dari banyak konsep dalam fisika, matematika, dan ilmu terapan lainnya.

3. Transformasi Linear

Transformasi linear merupakan transformasi yang mempertahankan struktur ruang vektor. Cakupannya adalah rotasi sebagai operasi linier, refleksi, serta proyeksi. Representasi transformasi linear biasanya dalam bentuk matriks.

Apabila menempuh kuliah S1 jurusan Computer Science, kamu tentu akan mempelajari aljabar linear sebagai salah satu subjek studi yang mendukung komputasi. Kamu dapat memilih jurusan program studi Computer Science yang lebih jelas dan gamblang dalam menjelaskan perkara aljabar linear.

Namun sebagai awal, kamu bisa mendapatkan informasi lain terkait aljabar linear lewat artikel terkait: Aljabar Linear Elementer: Pengertian, Materi, dan Sistem Persamaan Linear Elementer.