Aljabar Linear Elementer: Pengertian, Materi, dan Sistem Persamaan Linear Elementer

Aljabar linear elementer sama dengan linear algebra yaitu cabang dalam matematika yang berfokus pada pembelajaran ruang vektor dan transformasi linear antara ruang vektor. Cabang ini menjadi salah satu cabang yang sangat krusial dalam matematika serta memiliki berbagai aplikasi di berbagai bidang, termasuk fisika, teknik, ilmu komputer, ekonomi, dan banyak lagi.

Pengertian Aljabar Linear Elementer

Aljabar linier elementer terdapat di berbagai bidang termasuk sains dan teknik. Fungsinya adalah menyediakan instrumen untuk memodelkan fenomena alam serta optimalisasi proses. Selain itu, aljabar linear elementer dapat menyelesaikan perhitungan kompleks dalam ilmu komputer, fisika, ekonomi, dan seterusnya.

Aljabar linier, dengan konsep vektor, matriks, dan transformasi linier, berfungsi sebagai alat dasar di berbagai bidang, memungkinkan penyelesaian masalah kompleks di bidang sains, teknik, ilmu komputer, ekonomi, dan sebagainya

Materi yang Dipelajari di Aljabar Linear Elementer

Berikut adalah beberapa materi yang dipelajari di aljabar linear elementer:

  1. Transformasi Linear

Transformasi linear merupakan fungsi diantara dua ruang vektor dengan tetap pertahankan struktur ruang vektor. Dengan demikian, transformasi linear akan mempertahankan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.

  1. Ruang Vektor

Ruang vektor merupakan himpunan objek yang disebut vektor. Vektor disini akan memenuhi serangkaian aturan tertentu. Ruang vektor terdiri dari operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar yang dapat memenuhi sifat-sifat tertentu.

  1. Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear merupakan serangkaian persamaan linear yang terdiri dari satu atau lebih variabel yang tidak diketahui. Tujuan utama dari sistem persamaan linear adalah menyelesaikan masalah menggunakan aljabar linear elementer.

  1. Matriks

Matriks merupakan representasi simbolis transformasi linear. Dalam konteks aljabar linear elementer, matriks berfungsi sebagai transformasi linear memiliki vektor khusus yang disebut vektor eigen dan nilai khusus yang disebut nilai eigen.

Sistem Persamaan Linear dan Matriks

Sistem Persamaan linear sering digunakan sebagai permodelan masalah real seperti jaringan komputer, rangkaian listrik, model ekonomi, dan semacamnya. Sistem persamaan linear dapat menentukan kernel serta jangkauan dari suatu matriks transformasi, dan juga basis ruang eigen serta masalah solusi sistem persamaan diferensial.

Persamaan linear merupakan persamaan yang pengubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri seperti sin, cos atau semacamnya, perkalian, serta dengan pengubah lain atau dirinya sendiri. Intinya, sistem persamaan linear adalah sekumpulan persamaan linear yang memuat sebagian hingga semua pengubah bebas yang terkait satu sama lain.

SPL dapat ditentukan menggunakan aturan matriks invers. Tetapi syarat SPL dapat terselesaikan dengan aturan matriks invers adalah matriks koefisien. SPL tersebut juga harus berbentuk persegi dan determinannya tidak senilai dengan nol.

Persamaan Linear dan Matriks

Persamaan linear dan matriks adalah dua konsep yang saling terkait dalam matematika. Persamaan linear adalah sebuah persamaan di mana setiap variabel memiliki pangkat eksponen satu, dan tidak ada perkalian antara variabel tersebut. Bentuk umum dari persamaan linear dalam satu variabel x adalah ax+b=0, di mana a dan b adalah konstanta dan x adalah variabel.

Contoh persamaan linear adalah 3x+5=0.

Dalam lebih dari satu variabel, bentuk umum persamaan linear adalah a1x1 +a2 x2 + … +an xn =b di mana a1, a2, …an adalah koefisien.

Contoh persamaan linear dalam dua variabel adalah 2 x +3y=7. Sedangkan matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk tabel yang terdiri dari baris dan kolom. Setiap bilangan dalam matriks disebut sebagai elemen matriks.

Kedua konsep ini bisa dihubungkan dalam bentuk sistem persamaan linear. Sebuah sistem persamaan linear bisa dituliskan dalam bentuk matriks dengan menggunakan matriks koefisien dan matriks konstanta. Misalnya:

2x+3y=7

4x−2y =1

Dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks sebagai:

2 3 x = 7

4 – 2 y = 1

Determinan

Determinan merupakan ukuran standar untuk matriks persegi sehingga dapat menginformasikan tentang sifat transformasi linear yang terkait dengan matriks tersebut.

Determinan adalah sebuah nilai skalar yang didefinisikan untuk sebuah matriks persegi (yaitu matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama) dan memberikan informasi penting tentang sifat-sifat matriks tersebut. Simbol matriks persegi adalah determinan (A), misal determinan untuk Matriks 2×2 dapat dihitung dengan rumus det (A) = ad-bc

Untuk matriks persegi yang lebih besar dari 3×3, determinan sering kali dihitung dengan mengurangi matriks menjadi baris eselon tereduksi dan kemudian menggunakan aturan ekspansi kofaktor atau dengan bantuan komputer atau perangkat lunak matematika.

Jika determinan sebuah matriks persegi adalah nol, maka matriks tersebut disebut sebagai matriks singular. Determinan dari invers sebuah matriks persegi adalah invers dari determinan matriks tersebut. Jika dua baris atau kolom matriks ditukar tempat, maka nilai determinannya akan berubah tanda.

Vektor di R2 dan R3

Vektor adalah salah satu bagian geometri. Vektor yang dapat digambarkan pada sebuah bidang disebut R2 dan vektor yang digambarkan pada sebuah ruang adalah R3. R2 dinyatakan dengan bentuk dua sumbu koordinat yakni sumbu-x dan sumbu-y. Sementara itu, R3 berbentuk tiga sumbu koordinat yakni sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z

Penutup

Aljabar linear berperan penting dalam banyak aplikasi, seperti dalam sistem persamaan diferensial, analisis regresi, optimisasi, grafika komputer, pemrosesan sinyal, dan sebagainya. Kemampuan dalam memahami konsep-konsep aljabar linear dapat membantu untuk mempelajari matematika dan ilmu terkait lainnya.

Apabila kalian menguasai aljabar linear elementer, tentu kalian dapat menjadi ahli sains komputer di mana bidang studi ini sangat terkait dengan matematika, utamanya aljabar linear elementer. Ingin tahu informasi tentang aljabar linear lainnya? Baca artikel Aljabar Linear: Definisi, Klasifikasi, dan Materi Aljabar Linear.